最終更新日：2023年8月12日
どうも、おばんです。QCたかです。
「標準偏差」という言葉。
考え方は「平均」と似ているのですが、「平均」と比べ出会う機会が少なく、一市民権を得られていません。
それは、その言葉から「何か」を想像しにくいからだと思います。
また、求める計算式を見ると、何やら「苦手」な記号が多く出てきます。
これでは、余計に嫌われてしまいます。
「標準偏差」を身近な存在にしたい。
嫌いにならないでほしい。
グッと、距離を縮めるための努力をさせて頂こうと思います。
最後まで、見て行ってくださいね。
標準偏差は「平均値との差を平均したもの」
「標準偏差」について、堅苦しい数式、公式、説明は抜きにして一言で言えば、「平均値との差を平均したもの」です。
つまり、ただの「平均値」です。
カンタンでしょう？
もう少し説明しましょう。
「１」と「５」の数字を準備します。
「１」と「５」の平均は「（１＋５）÷２＝３」ですね。
- 平均値「３」に対し「１」はいくつ離れているか。
- 平均値「３」に対し「５」はいくつ離れているか。
この二つのデータの平均を求めることで、平均値からの差の平均が求まりますね。
ただ実際は、そうカンタンにうまくいきません。
平均値の差を平均しても「0」にしかなりません。
確かめてみましょう。
- 平均値「３」に対し「１」は？「１－３＝－2」
- 平均値「３」に対し「５」は？「５－３＝＋２」
- （ー２）＋（＋２）÷２＝０！？
このように「分子が必ず『０』になってしまう」ので、このまま平均はできないのです。
できないことをするのが「数学」のだいご味です。
要は「マイナスを何らかの方法で消す」ことを考えればよいのですね。
数学でマイナスを消す方法としては、
- ２乗する
- 絶対値にする
が一般的です。
統計学では「２乗する」が一般的ですので、ボクたちも「２乗」しましょう。
- （ー２）の２乗＝４
- （＋２）の２乗＝４
- 平均は（４＋４）÷２＝４
はい、これで平均することができました！
でも、平均４っておかしくないですか？
「１」も「５」も平均値「３」から「２」しか離れていないのに、「４」って。
おかしいに決まっています。
だってボクたちは「２乗」しましたから。
これって「今は２乗しっぱなし」の状態ってことです。
例えば、単位が「cm」だったとします。
「２乗」したわけですから、単位も当然「２乗」して「cm２（平方センチメートル）」ですね。
「cmで長さ」の話をしていたのに、突然「平方センチメートルで面積」の話に切り替えてしまったわけです。
「このクラスの平均身長からの差の平均っていくつ？」
「はい、テニスコート3面分です！」
「？？？」
とチンプンカンプンな話になっている状態です。
ですから、２乗した分を戻せばいい。
それには「ルート√」すればいいのですよね？
- ルート√４＝２
はい、これで「平均値の差の平均」が求まりました。
そして、これが「標準偏差」です。
最初、「平均値からの差」を求めました。
これを「偏差」と呼んでいます。
この「偏差」を「平均」したもの、それは「標準的な偏差」と言えるので、このことを「標準偏差」と呼ぶことにしたのですね。
標準偏差 Standard deviation
分散の正の平方根。
である。
備考：確率変数Xの標準偏差をXの母標準偏差ということもある。（Z8101-1）
サンプルに対しては次式により求める。
求めた標準偏差の値の単位は、元の測定値と同じである。標準偏差は、データのばらつきの程度を示す埴土の一つである。
ークォリティマネジメント用語辞典（2004年発行 吉澤正 日本規格協会）より引用
公式を使わず標準偏差を計算する！
仕事をしていて「標準偏差」を手で計算することに出会うことはありません。
Excel関数でカンタンに求まるからです。
世の中で手で計算することが必要な場面は、
- 品質管理検定（QC検定）3級
- 高校数学Ⅰ
ぐらいだと思います。
つまり、試験勉強のためだけに、ややこしい公式を覚えなければなりません。
ボクはこの覚える作業がムダだと感じます。
だって、人生で公式を使うことは、ほぼありませんから。
ですから、皆さんにそんなムダな時間は使って欲しくないのです。
これから、公式を使わない計算方法を紹介しますので、ぜひ、体得して頂きたいですね。
品質管理検定（QC検定）３級において、標準偏差を求める計算問題は、かなりの高確率で出題されます。
受かりたかったら、公式など覚えず、これから説明するやり方を体で覚えていった方が近道です。
では、さっそくやってみましょう。
問題：
５つのデータがある。［５、９、３、11、８］
標準偏差を求めよ。
求める手順を下記します。
- チェックシートを作る
- 小さい順にデータをヨコに並べる
- ヨコ並びに「合計」「合計の2乗」欄を作り計算する
- タテに「２乗」欄を作り計算する
- 「２乗の合計」を計算する
- ３項ヨコ「合計の２乗」をデータ数で割る
- 4項タテ「２乗の合計」を引く（符号がマイナスになるが気にしない）
- データ数ー１で割る
- ルート√する
あれ？
9項目もあって、すごいタイヘンじゃん！？
と思わなくてよいです。
一つひとつ説明しますので、いかにカンタンであるか、ご理解いただけると思います。
なお、この計算は「電卓」を使用することを前提に説明します。
「電卓」が使えない方は手計算でお願いします。
1.チェックシートを作る
今回は、データが「５個」ですから、１～５まで、記入しましょう。
2.小さい順にデータを並べる
問題をよく確認し、小さい順に並べましょう。
3.ヨコ並びに「合計」「合計の2乗」欄を作り計算する
合計は、そのまま5個のデータを足していきます。
出た答えをチェックシートにメモし、表示を消さずそのまま
「×（掛ける）ボタン」→「＝（イコール）ボタン」を押しましょう。
この処置で「2乗」が計算できます。
4.タテに「２乗」欄を作り計算する
各データを「２乗」してチェックシートに記入していきましょう。
先ほどと同様に、「×（掛ける）ボタン」→「＝（イコール）ボタン」を押すことで素早く計算ができます。
5.「２乗の合計」を計算する
今計算した各データの「2乗」を合計しましょう。
6.３項ヨコ「合計の２乗」をデータ数で割る
右上の「合計の２乗（この問題だと『1296』の箇所）」をデータ数（この問題だと『５』）で割りましょう。
計算すると、1296÷５＝259.2 ですね。
注意：電卓の計算結果を消してはいけません！
7.4項タテ「２乗の合計」を引く
先ほどの答えから、タテ「２乗の合計」を引きましょう。
このとき、符号がマイナス表示されますが、気にしないでください。
計算すると、259.2ー300＝ー40.8 ですね。
注意：ここでも電卓の計算結果を消してはいけません！
8.データ数ー１で割る
ここは、前半の「平均値との差の平均」に相当します。
「平均」を取るのだから、データ数で割るのが正解なのですが、この品質管理検定（QC検定）や高校数学Ⅰのジャンルでは、無条件に「データ数ー１」で割ることを、受け入れて頂きたいと思います。
ここには、説明していない「母集団」や「標本」という概念が含まれており、「データ数ー１」のことを「自由度」と読んだりしますが、説明するにはこの記事では足りませんので、またの機会で説明させてください。
ということで、計算すると、ー40.8÷（５－１）＝ー10.2 です。
注意：引き続き、ここでも電卓の計算結果を消してはいけません！
9.ルート√する
これが最後です。
求めた計算結果にそのまま「ルート√ボタン」を押すだけです。
そうしますと、3.1937・・・ となり、標準偏差が求まりました。
いかがだったでしょうか？
なお、電卓にエラーを示す「E」が表示されますが、気にしなくてよいです。
計算はちゃんとできていますから。
チェックシートを使って計算を分断
頭の良い方は、すでにお気づきだと思いますが、結局は公式の通りに計算をしただけです。
違いは、公式で計算する過程を、チェックシートを使用して見える化し、手順化したことです。
見える化、手順化したことで、公式は覚えなくても、答えまで導けることができました。
なぜ、このような提案をしているか、と言いますと、
「誰もが、計算が得意ではない」
「多くのヒトが品質管理検定(QC検定）を受けて合格してほしい」
と思うからです。
企業には、いろいろな経験、知識を持った方がいらっしゃいます。
もちろん、みんなが計算が得意ではない。
公式を見た途端、汗をかくヒトもいる。
そんなヒトたちでも、品質管理検定（QC検定）を受験し、合格をしてほしいと思っています。
高校生でも理系、文系と分かれているものの、この標準偏差のジャンルは数学Ⅰですから、全員共通で受ける授業です。
やはり、得意なコ、苦手なコがいるに決まっています。
苦手なコでも、「この方法ならボクにもできる」と思って頂けたら幸いです。
さぁ、みんなで標準偏差を計算しよう！
この手法は繰り返し計算し、体に覚えさせるやり方です。
問題は、自分が好きなデータを何個か集めるだけで、すぐできちゃいます。
経験を積んで、来たる本番に備えて頂けたらと思います。
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